<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-cn">
<head>
    <title>数列的极限</title>
    <meta charset="utf-8" />
    <link rel="stylesheet" type="text/css" href="../../css/note.css" />
</head>
<body>

<h2>数列极限的定义</h2>

<p class="definition">
	能与全体自然数建立一一对应的集合称为<b>序列</b>, 记为
	<span class="formula">
		`x_1, x_2, x_3, cdots`,
	</span>
	简写为 `{x_n}_(n=1)^oo` 或 `{x_n}`.
	序列的第 `n` 项 `x_n` 称为它的<b>通项</b>.
	如果序列中的每一元素都是实数, 就称它为<b>实数列</b>, 简称<b>数列</b>.
</p>

<p class="definition">
	设 `a in RR`, `{x_n}` 为一数列. 如果对任意正实数 `epsi`,
	都存在相应的正整数 `N`, 使对任意的 `n gt N`, 成立
	<span class="formula">
		`|x_n - a| lt epsi`,
	</span>
	则称数列 `{x_n}` <b>收敛</b>, 它的<b>极限</b>为 `a`, 记为
	`lim_(n to oo) x_n = a`, 或 `x_n to a` (`n to oo`).
	等价的说法是, 当 `n` 趋于正无穷大时, `x_n` 趋于 `a` 或以 `a` 为极限.
	反之, 如果数列的极限不存在, 则称它<b>发散</b>.
</p>

<p class="remark">
	我们把数列极限的这种定义采用的数学表述称为 `epsi-N` 语言.</br>
	注意, 按照定义, 我们只需证明对小的正数 `epsi` 成立 `|x_n - a| lt epsi`
	即可. 因此证明的时候可以根据实际情况加上 `epsi lt 1`
	的限制条件等.</br>
	另外, `AA n gt N`, `|x_n - a| lt epsi`
	的另一种说法是, <b>对充分大的 `bm n`</b> 成立上式.</br>
	最后, 不等式 `|x_n - a| lt epsi` 的一个等价的写法是
	<span class="formula">
		`a - epsi lt x_n lt a + epsi`.
	</span>
</p>

<p class="proposition">
	`lim_(n to oo) x_n = a` `iff lim_(n to oo) (x_n - a) = 0`.
</p>

<p class="proposition" id="prop-diff">
	若 `lim_(n to oo) x_n = a`, 则
	`lim_(n to oo) (x_n - y_n) = 0` `iff {y_n}` 的极限存在, 且等于 `a`.
</p>

<ol class="proof">
	<li>对任意 `epsi gt 0`, 由 `lim_(n to oo) x_n = a`, 存在正整数 `N`
		使得
		<span class="formula">
			`|x_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt N`.
		</span>
		由 `lim_(n to oo) (x_n-y_n) = 0`, 存在正整数 `M` 使得
		<span class="formula">
			`|x_n - y_n| lt epsi/2`, `AA n gt M`.
		</span>
		于是对任意 `n gt max{N, M}`, 应用三角不等式有
		<span class="formula">
			`|y_n - a| le |y_n - x_n| + |x_n - a| lt epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>现在设 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo)  y_n = a`,
		则对任意 `epsi gt 0`, 存在正整数 `N, M` 使得
		<span class="formula">
			`|x_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt N`;<br/>
			`|y_n - a| lt epsi/2`, `AA n gt M`.
		</span>
		类似地对 `n gt max{N, M}` 应用三角不等式即得结论.
	</li>
</ol>

<ol class="example">
	<li><b>对数</b> `lim_(n to oo) 1/(log_a n) = 0`, 其中 `a gt 1`.</li>
	<li><b>p 数列</b> `lim_(n to oo) 1/n^p = 0`, 其中 `p gt 0`;</li>
	<li><b>等比数列</b> `lim_(n to oo) q^n = 0`, 其中 `0 lt q lt 1`;</li>
	<li><b>n 次方根</b> `lim_(n to oo) root n a = 1`, 其中 `a gt 0`,
		`a != 1`;
	</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`AA epsi gt 0`, 取正整数 `N gt a^(1/epsi)`, 则
		`log_a N gt 1/epsi`, 从而 `AA n gt N`,
		<span class="formula">
			`|1/(log_a n)| lt 1/(log_a N) lt epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>`AA epsi gt 0`, 取正整数 `N gt (1/epsi)^(1/p)`, 则
		`N^p gt 1/epsi`, 从而 `AA n gt N`,
		<span class="formula">
			`|1/n^p| lt 1/N^p lt epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>`AA epsi gt 0`, 不妨令 `epsi lt 1`.
		取正整数 `N gt (log_2 epsi)/(log_2 q)`, 则
		`N log_2 q lt log_2 epsi`. 从而 `AA n gt N`,
		<span class="formula">
			`|q^n| lt q^N lt epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>`AA epsi gt 0`, 先设 `a gt 1`, 取正整数 `N gt (log_2
		a)/(log_2(1+epsi))`, 则 `N log_2(1+epsi) gt log_2 a`,
		`(1+epsi)^N gt a`.  从而 `AA n gt N`,
		<span class="formula">
			`|root n a - 1| lt root N a - 1 lt (1+epsi)-1 = epsi`.
		</span>
		再设 `a lt 1`, 不妨令 `epsi lt 1`.
		取正整数 `N gt (log_2 a)/(log_2(1-epsi))`, 则
		`log_2 a gt N log_2(1-epsi)`, `a gt (1-epsi)^N`,
		`root N a gt 1-epsi`. 从而 `AA n gt N`,
		<span class="formula">
			`|1 - root n a| lt 1 - root N a lt 1-(1-epsi) = epsi`.
		</span>
	</li>
</ol>

<h2>有界数列, 无穷大与无穷小, 两边夹法则</h2>

<p class="definition">
	设 `{x_n}` 为一数列. 如果存在实数 `A, B` 使成立
	<span class="formula">
		`A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`,
	</span>
	则称 `{x_n}` <b>有界</b>, 否则称它<b>无界</b>.
</p>

<p class="corollary">
	数列 `{x_n}` 有界当且仅当存在正实数 `M`, 对充分大的 `n` 成立
	<span class="formula">
		`|x_n| le M`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	先设 `{x_n}` 有界. 则存在实数 `A, B` 使成立
	<span class="formula">
		`A le x_n le B`, `AA n in ZZ^+`.
	</span>
	取 `M = max{|A|, |B|}`, 则
	<span class="formula">
		`|x_n| le M`, `AA n in ZZ^+`.
	</span>
	反之设存在正实数 `M` 和正整数 `N`, 成立
	<span class="formula">
		`|x_n| le M`, `AA n gt N`,
	</span>
	取 `M' = max{x_1, x_2, cdots, x_N, M}`, 则
	<span class="formula">
		`|x_n| le M'`, `AA n in ZZ^+`.
	</span>
	再取 `A = -M', B = M'` 即得结论.
</p>

<p class="definition">
	如果 `lim_(n to oo) x_n = 0`, 则称 `{x_n}`
	是一个<b>无穷小量</b>或无穷小.
	如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `|x_n| gt M`, 则称 `{x_n}`
	趋于无穷大, 或 `x_n` 是一个<b>无穷大量</b>. 其中,
	如果 `AA M gt 0`, 对充分大的 `n` 有 `x_n gt M` (`x_n lt -M`),
	则称 `{x_n}` 趋于正无穷大 (负无穷大), 记为
	`lim_(n to oo) x_n = +oo` (`-oo`) 或 `x_n to +oo` (`-oo`),
	当 `n to oo`.
</p>

<p class="proposition">
	若 `{x_n}` 是无穷大且 `x_n != 0`, 则 `{1/x_n}` 是无穷小;
	反之若 `{y_n}` 是无穷小且 `y_n != 0`, 则 `{1/y_n}` 是无穷大.
</p>

<p class="proof">
	只证第一个结论, 第二个结论类似.
	`AA epsi gt 0`,
	由 `{x_n}` 是无穷大知存在正整数 `N`, 使得
	<span class="formula">
		`|x_n| gt 1/epsi`, `AA n gt N`.
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`|1/x_n| lt epsi`, `AA n gt N`.
	</span>
</p>

<p class="proposition">
	设 `{x_n}` 是无穷小, `{y_n}` 有界, 则 `{x_n y_n}` 是无穷小.
</p>

<p class="proof">
	由 `{y_n}` 有界知存在 `M gt 0` 使得 `|y_n| le M`, `AA n in ZZ^+`.
	`AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N` 使成立
	<span class="formula">
		`|x_n| lt epsi/M`, `AA n gt N`.
	</span>
	从而
	<span class="formula">
		`|x_n y_n| lt epsi/M M = epsi`.
	</span>
</p>

<p class="proposition" id="prop-smaller">
	设 `{x_n}` 是无穷小, 且对充分大的 `n`, 有 `|y_n| le |x_n|`, 则 `{y_n}`
	是无穷小.
</p>

<p class="proof">
	由已知, 存在正整数 `M` 使得
	<span class="formula">
		`|y_n| le |x_n|`, `AA n gt M`.
	</span>
	`AA epsi gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N`, 使得
	<span class="formula">
		`|x_n| lt epsi`, `AA n gt N`.
	</span>
	从而 `n gt max{M, N}` 时,
	<span class="formula">
		`|y_n| le |x_n| lt epsi`.
	</span>
</p>

<ol class="example">
	<li>`lim_(n to oo) (n!)/n^n = 0`, `lim_(n to oo) n^n/((2n)!) = 0`.</li>
	<li>`lim_(n to oo) a^n/(n!) = 0`, `a in RR`;</li>
	<li>`lim_(n to oo) n^p/a^n = 0`, `a gt 1`, `p gt 0`;</li>
	<li>`lim_(n to oo) (log_a n)/n^p = 0`, `a gt 1`, `p gt 0`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>只需注意到 `AA n in ZZ^+`, `(n!)/n^n le 1/n`, `n^n/((2n)!) lt
		1/(n!)`;
	</li>
	<li>取正整数 `N gt |a|`, 则 `|a|/N lt 1`. 取实数 `r` 使
		`|a|/N lt r lt 1`, 则对任意 `n gt N` 有 `|a|/n lt |a|/N lt r`.
		于是
		<span class="formula">
			`|a^n/(n!)| lt r^(n-N) |a|^N/(N!)`.
		</span>
		因为 `r^n` 是无穷小, `r^-N |a|^N/(N!)` 是有界量,
		所以上式右端是无穷小, 因此 `a^n/(n!)` 是无穷小.
	</li>
	<li>设 `a = 1 + r`, `r gt 0`. 取正整数 `N gt p`, 当 `n gt N` 时,
		利用二项式定理有
		<span class="formula">
			`|n^p/a^n| = n^p / (1+r)^n`
			`= n^p // sum_(k=0)^n (n;k) r^k`
			`lt n^p // (n;N) r^N`
			`lt (n^p N!) / ((n-N)^N r^N)`
			`= (N!)/(n^(N-p) (1-N/n)^N r^N)`.
		</span>
		`n gt 2N` 时, `1-N/n gt 1/2`. 所以
			`|n^p/a^n| lt (N!)/n^(N-p) (2/r)^N`.
		其中 `1/n^(N-p)` 是无穷小, 其余因子为有界量. 因此 `n^p/a^n`
		是无穷小.
	</li>
	<li>`AA epsi gt 0`, 由 3 知存在正整数 `M`, 使得
		<span class="formula">
			`n/a^n lt p/a epsi`, `AA n gt M`.
		</span>
		取正整数 `N gt a^(M/p)`, 则 `p log_a N gt M`.
		`AA n gt N`, 记 `m = |__p log_a n__|+1`, 于是 `m gt M`.
		从而
		<span class="formula">
			`|(log_a n)/n^p| = 1/p (p log_a n)/(a^(p log_a n))`
			`lt 1/p m/a^(m-1)`
			`= a/p m/a^m`
			`lt epsi`.
		</span>
	</li>
</ol>

<p class="proof">
    也可以利用正项级数的审敛法. 一旦级数收敛, 它的通项就趋于 0. 如设
    `x_n = (n!)/n^n`, 则
    <span class="formula">
        `x_(n+1) / x_n = n^n/(n+1)^n to 1/e lt 1`,
    </span>
    则级数 `sum(n ge 1) x_n` 收敛, 其通项趋于 0.
    2, 3 小题类似.
</p>

<p class="theorem">
	<b>两边夹法则 (squeezing theorem)</b>
	设数列 `{x_n}, {y_n}, {z_n}` 对充分大的 `n` 满足 `x_n le y_n le z_n`,
	且 `lim_(n to oo) x_n = lim_(n to oo) z_n = a`, 则 `{y_n}`
	的极限也存在且等于 `a`.
</p>

<p class="proof">
	设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n le z_n`, `AA epsi gt 0`,
	由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立
	<span class="formula">
		`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,<br/>
		`a - epsi lt z_n lt a + epsi`, `AA n gt N_3`.
	</span>
	从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时,
	<span class="formula">
		`a - epsi lt x_n le y_n le z_n lt a + epsi`,
	</span>
	即 `lim_(n to oo) y_n = a`.
</p>

<p class="proof">
	记 `a_n = y_n - x_n`, `b_n = z_n - x_n`, `n = 1, 2, cdots`.
	由<a class="ref" href="#prop-diff"></a>知 `b_n` 是无穷小,
	而 `|a_n| le |b_n|`, 故由<a class="ref" href="#prop-smaller"></a>知
	`a_n` 也是无穷小. 再次应用<a class="ref" href="#prop-diff"></a> `y_n` 的极限存在, 且等于 `a`.
</p>

<p class="example">
	`lim_(n to oo) root n n = 1`.
</p>

<p class="proof">`n gt 2` 时, 应用均值不等式有
	<span class="formula">
		`   1 lt root(n)(n)`
		`=  root(n)(sqrt n * sqrt n * 1)`
		`lt (2 sqrt n + n - 2)/n`
		`lt 2/sqrt n + 1`.
	</span>
	由两边夹法则, `lim_(n to oo) root n n = 1`.
</p>

<h2>数列极限的性质与四则运算</h2>

<p class="property">
	<b>数列极限的惟一性</b>
	若数列有极限, 极限必惟一.
</p>

<p class="proof">
	设 `lim_(n to oo) x_n = a`, 且 `lim_(n to oo) x_n = b`.
	如果 `a != b`, 不妨设 `a lt b`, 取 `epsi = (b-a)//2 gt 0`,
	由极限的定义知分别存在正整数 `M, N`, 使得
	<span class="formula">
		`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `quad n gt M`;<br/>
		`b - epsi lt x_n lt b + epsi`, `quad n gt N`.
	</span>
	从而当 `n gt max{M, N}` 时, 以上两式皆成立, 有
	<span class="formula">
		`(a+b)//2 = b - epsi lt x_n lt a + epsi = (a+b)//2`,
	</span>
	矛盾. 所以必有 `a = b`.
</p>

<p class="property">
	<b>收敛数列的有界性</b>
	如果 `{x_n}` 收敛, 则它有界. 从而无界数列必发散.
</p>

<p class="proof">
	设 `x_n to a`.
	对 `epsi = 1 gt 0`, 由极限的定义知存在正整数 `N`, 使成立
	<span class="formula">
		`|x_n - a| lt epsi = 1`, `AA n gt N`.
	</span>
	这蕴含
	<span class="formula">
		`|x_n| = |(x_n-a) + a| lt 1+|a|`, `AA n gt N`.
	</span>
	从而数列有界.
</p>

<ol class="property">
	<b>收敛数列的保号性</b>
	设 `lim_(n to oo) x_n = a != 0`,
	则存在一个介于 `a` 和 `0` 之间的实数 `r`,
	<li>`a gt 0` 时, 对充分大的 `n` 成立 `x_n gt r gt 0`;</li>
	<li>`a lt 0` 时, 对充分大的 `n` 成立 `x_n lt r lt 0`.</li>
	从而当数列有一个不等于零的极限时, 对充分大的 `n`, `x_n` 与 `0`
	保持一个正的距离.
</ol>

<p class="proof">
	只证结论 1, 结论 2 证明类似.
	取 `epsi = a/2 gt 0`, 由极限定义, 对充分大的 `n` 有
	`a - a/2 lt x_n lt a + a/2`, 从而 `x_n gt a/2 gt 0`.
	取 `r = a/2` 即可.
</p>

<p class="property">
	<b>数列极限的保序性</b>
	如果 `{x_n}`, `{y_n}` 收敛, 且对充分大的 `n` 有 `x_n le y_n`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) x_n le lim_(n to oo) y_n`.
	</span>
	注意, 由 `x_n lt y_n` 不能推出 `lim_(n to oo) x_n lt lim_(n to oo)
	y_n`. 比如 `1/n lt 2/n`, 但两数列都趋于 `0`.
</p>

<p class="proof">
	设对 `AA n gt N_1` 成立 `x_n le y_n`.
	记 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`.
	反设 `a gt b`. 取 `epsi = (a-b)//2 gt 0`.
	由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使成立
	<span class="formula">
		`a - epsi lt x_n lt a + epsi`, `AA n gt N_2`,<br/>
		`b - epsi lt y lt b + epsi`, `AA n gt N_3`.
	</span>
	从而 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时,
	<span class="formula">
		`(a+b)//2 = a - epsi lt x_n le y_n lt b + epsi = (a+b)//2`,
	</span>
	矛盾. 因此 `a le b`.
</p>

<p class="definition">
	如果 `x_n le x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称 `{x_n}`
	<b>单调递增</b>, 如果 `x_n lt x_(n+1)`, `n = 1, 2, cdots`, 则称
	`{x_n}` <b>严格单调递增</b>.
	类似可以定义单调递减数列和严格单调递减数列.
</p>

<p class="definition">
	设 `{x_n}` 是一序列, `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列,
	则 `{x_(n_k)} := {x_(n_k)}_(k=0)^oo` 称为 `{x_n}`
	的一个<b>子 (序) 列</b>, 特别 `{x_n}` 为数列时, `{x_(n_k)}` 称为
	`{x_n}` 的一个<b>子数列</b>.
	直观地看, 子列就是把原序列的一部分取出, 按原先的次序排成的一个序列.
</p>

<p class="corollary">
	若 `{n_k}` 是一个严格单调递增的正整数列, 则 `n_k ge k`, `k in ZZ^+`.
</p>

<p class="proof">
	归纳法容易证明.
</p>

<p class="property">
	<b>收敛数列子列的收敛性</b> 设 `lim_(n to oo) x_n = a`,
	则 `{x_n}` 的任意子列也收敛到 `a`.
</p>

<p class="proof">
	由极限定义, `AA epsi gt 0`, 存在正整数 `N`, 使得
	<span class="formula">
		`|x_n - a| lt epsi`, `AA n gt N`.
	</span>
	任取子列 `{x_(n_k)}`, 由 `n_k ge k`, `k in ZZ^+` 知,
	<span class="formula">
		`|x_(n_k) - a| lt epsi`, `AA k gt N`.
	</span>
</p>

<p class="theorem">
	<b>数列极限的四则运算</b>
	若 `lim_(n to oo) x_n = a`, `lim_(n to oo) y_n = b`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) (x_n +- y_n) = a +- b`;
		`quad lim_(n to oo) (x_n y_n) = ab`;
		`quad lim_(n to oo) (x_n)/(y_n) = a/b` (当 `b != 0`).
	</span>
	定理告诉我们, 极限运算与 (有限次的) 四则运算可以交换次序.
</p>

<ol class="proof">
	<li>`AA epsilon gt 0`, 由极限定义,  存在正整数 `N_1, N_2` 使成立
		<span class="formula">
			`|x_n - a| lt epsilon/2, AA n gt N_1`;</br>
			`|y_n - b| lt epsilon/2, AA n gt N_2`.
		</span>
		故 `n gt max{N_1, N_2}` 时,
		<span class="formula">
			`|(x_n +- y_n) - (a +- b)|`
			`le |x_n - a| + |y_n - b|`
			`lt epsi/2 + epsi/2 = epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>由收敛数列的有界性知 `EE M gt 0`, 使
		<span class="formula">
			`|y_n| le M`, `AA n in NN`.
		</span>
		`AA epsilon gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_1, N_2` 使成立
		<span class="formula">
			`|x_n - a| lt epsi/(2M)`, `AA n gt N_1`;</br>
			`|y_n - b| lt epsi/(2(|a| + 1))`, `AA n gt N_2`.
		</span>
		(这样就避免了对 `a = 0` 的讨论). 因此 `n gt max{N_1, N_2}` 时,
		<span class="formula">
			`|x_n y_n - a b|`
			`= |x_n y_n - a y_n + a y_n - a b|`
			`le |x_n - a| |y_n| + |a| |y_n - b|`
			`lt epsi/(2M) M + |a| epsi/(2|a|+1) lt epsi`.
		</span>
	</li>
	<li>注意 `lim_(n to oo) y_n = b != 0`, 由数列极限的保号性知存在正整数
		`N_1` 与 `m gt 0` 使
		<span class="formula">
			`|y_n| gt m`, `AA n gt N_1`.
		</span>
		`AA epsilon gt 0`, 由极限定义, 存在正整数 `N_2, N_3` 使
		<span class="formula">
			`|x_n - a| lt m epsilon/2`, `AA n gt N_2`;</br>
			`|y_n - b| lt (m|b|)/(|a|+1) epsilon/2`, `AA n gt N_3`.
		</span>
		当 `n gt max{N_1, N_2, N_3}` 时有
		<span class="formula">
			`|x_n/y_n - a/b|`
			`= |(b x_n - a y_n)/(b y_n)|`
			`= (|b x_n - a b + a b - a y_n|)/(|b| |y_n|)`
			`lt (|b| |x_n - a| + |a| |y_n - b|)/(m |b|)`
			`= 1/m|x_n-a| + |a|/(m|b|) |y_n - b|`
			`lt 1/m m epsi/2 + |a|/(m|b|) (m|b|)/(|a|+1) epsi/2`
			`lt epsi`.
		</span>
	</li>
</ol>

<p class="corollary">
	设 `lim x_n = a`, `AA c in RR`, 令 `y_n = c` 是一个常数列, 则
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) (c x_n) = c a`, `quad lim_(n to oo) (c + x_n) = c +
		a`.
	</span>
</p>

<h2>几个刻画实数完备性的定理</h2>

<p class="theorem">
	<b>单调有界原理</b>
</p>

<p class="theorem">
	<b>Cantor 闭区间套定理</b>
</p>

<p class="theorem">
	<b>Bolzano-Weierstrass 列紧性 (致密性) 原理</b>
</p>

<p class="theorem">
	<b>Cauchy 收敛准则</b>
</p>

<h2>压缩映像</h2>

<p class="lemma">
	设 `0 lt r lt 1`, 且对任意正整数 `n` 有 `|x_(n+1)-a| le r |x_n-a|`,
  则 `lim_(n to oo) x_n = a`.
</p>

<p class="proof">
	归纳法容易证明
	<span class="formula">
		`|x_n - a| le r^(n-1)|x_1 - a|`,
	</span>
	`r^(n-1)` 是无穷小, `|x_1 - a|` 是有界量, 因此 `|x_n - a|` 为无穷小,
	即 `lim_(n to oo) x_n = a`.
</p>

<ol class="example">
  [群友 我是懒羊羊的数学题]
  设 `x_1 = sqrt 6`, `x_(n+1) = sqrt(6+x_n)`. 求
  `lim_(n to oo) x_n` 和 `lim_(n to oo) (x_n - 3) 6^n`.
</ol>

<ol class="solution">
  <li>解方程 `x = sqrt(6+x)` 得到唯一不动点 `x = 3`.
    归纳法容易得到通项的范围 `0 lt x_n lt 3`.
    现考虑通项与不动点的差:
    <span class="formula">
      `|x_(n+1) - 3|`
      `= |sqrt(6+x_n) - 3|`
      `= |(x_n - 3)/(sqrt(6+x_n) + 3)|`
      `le 1/(sqrt 6 + 3) |x_n - 3|`.
    </span>
    由引理知 `x_n to 3`.
  </li>
  <li>
    类似 1. 有
    <span class="formula">
      `(x_(n+1) - 3) 6^(n+1)`
      `= 6/(sqrt(6+x_n) + 3) (x_n - 3) 6^n`.
    </span>
    问题化为
    <span class="formula">
      `prod_(n ge 1) 6/(sqrt(6+x_n)+3)`.
    </span>
    ??
  </li>
  *如果把题目的 6 改成 2, 则可以找到 `x_(n+1)^2 = x_n + 2` 的解
  `x_n = 2cos(pi//2^(n+1))`, 所求极限为 `pi^2//4`.
</ol>

<ol class="theorem">
	设数列 `{x_n}` 满足:
	<li>存在有限个子数列收敛到同一极限, 且 `{x_n}` 是这些子数列的并,
		则 `{x_n}` 收敛; 常见的情形是它的奇数项与偶数项分别收敛到同一极限.
	</li>
	<li>存在常数 `lambda in (0, 1)` 使得
		<span class="formula">
			`|x_(n+1) - x_n| le lambda |x_n - x_(n-1)|`,
			`quad n = 2, 3, cdots`.
		</span>
		则 `{x_n}` 收敛.
	</li>
</ol>

<p class="theorem">
	<b>Banach 压缩映像原理</b>
</p>

<p class="example">
	设 `x_1 = 1`, `x_n = 1/m [(m-1) x_(n-1) + A/x_(n-1)^(m-1)]`,
	其中 `m` 是非零整数, `A gt 0`.
	证明 `{x_n}` 收敛, 且极限为 `root m A`.
</p>

<h2>数列的差分与加权和</h2>

<h3>数列的差分--Stolz 定理</h3>

<ol class="example">
  设 `a_0 gt 0`, `a_(n+1) = sin(a_n)`, 求证
  <li>`a_n to 0`, `n to oo`;</li>
  <li>`a_n ~ sqrt(3/n)`, `n to oo`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>`n gt 0` 时 `{a_n}` 单调有界, 故数列收敛到 `x = sin x` 的唯一不动点
    `x = 0`;</li>
  <li>应用 stolz 定理和等价无穷小,
    <span class="formula">
      `lim_(n to oo) n/(1/a_n^2)`
      `= lim_(n to oo) (a_n^2 a_(n-1)^2)/(a_(n-1)^2 - a_n^2)`
      `= lim_(x to 0) (sin^2 x x^2)/(x^2 - sin^2 x)`
      `= 3`.
    </span>
  </li>
</ol>

<h3>数列的加权和--Toeplitz 定理</h3>

<ol class="theorem">
	<b>Cesàro 定理</b> 设 `lim_(n to oo) a_n = a`, 则
	<li>`lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n a_k = a`;</li>
	<li>若 `a_n gt 0`, `a gt 0`, 则 `lim_(n to oo) root n (prod_(k=1)^n a_k) = a`;</li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>记 `S_n = sum_(k=1)^n a_k`. 对任意 `epsi gt 0`,
    取 `N` 充分大使得任意 `n gt N` 有 `|a_n - a| lt epsi`, 于是
    <span class="formula">
      `|S_n/n - a|`
      `= |(S_N - N a)/n + (a_(N+1)-a)/n + cdots + (a_n - a)/n|`
      `le |(S_N - N a)/n| + epsi`.
    </span>
    令 `n to oo`, 由于 `N` 是固定的, 得到 `|S_n/n - a| le epsi`.
  </li>
</ol>

<p class="example">
    设 `x_n, y_n` 都趋于 0, 求极限 `1/n (x_1 y_n + x_2 y_(n-1) + cdots
    + x_n y_1)`.
</p>

<p class="solution">
    利用 Cauchy 不等式, 原式的平方 `le 1/n^2 (sum_(k=1)^n x_k^2)
    (sum_(k=1)^n y_k^2)`.
    由已知 `x_n^2, y_n^2` 都趋于 0, 利用 Cesàro 定理知不等式右端趋于 0,
    因此原式的平方趋于 0, 从而原式的极限是 0.
</p>

<p class="example">
  [来自 我是乱序的不等式]
  若 `a_n to a`, 且正项级数 `sum b_n` 收敛到 `S`, 那么
  <span class="formula">
    `sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k to a S`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
  记 `b_n` 的前 `n` 项和为 `S_n`. 对任意 `epsi gt 0`,
  取 `N` 充分大, 使得 `n gt N` 时
  <span class="formula">
    `|S_n - S| lt epsi`, `quad b_n lt epsi`, 且 `|a_n - a| lt epsi`.
  </span>
  于是 `n-N+1 gt N` 时,
  <span class="formula">
    `|sum_(k=1)^n a_(n+1-k) b_k - a S|`
    `le |sum_(k=1)^n (a_(n+1-k) - a) b_k| + |a(sum_(k=1)^n b_k - S)|`
    `le |sum_(k=1)^(n-N) (a_(n+1-k) -a) b_k| + |sum_(k=n-N+1)^n (a_(n+1-k)-a) b_k| + |a| epsi`
    `le S epsi + |sum_(k=n-N+1)^n (a_(n+1-k) -a)| epsi + |a| epsi`.
  </span>
  第二项的求和只有有限项, 故原式的极限为 `a S`, 证毕.
</p>

<p class="example">
	设 `p_k gt 0`, `k = 1, 2, cdots`, `lim_(n to oo) a_n = a`, 且
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) p_n/(p_1 + p_2 + cdots + p_n) = 0`
	</span>
	证明:
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) (p_1 a_n + p_2 a_(n-1) + cdots + p_n a_1)/(p_1 +
		p_2 + cdots + p_n) = a`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	记 `S_n = sum_(k=1)^n p_k`.  对任意 `epsi gt 0`, 取 `N` 充分大使得任意
  `n gt N` 有
  <span class="formula">
    `|a_n - a| lt epsi`, `quad |p_n/S_n| lt epsi`.
  </span>
  于是 `n-N+1 gt N` 时,
	<span class="formula">
		`|(sum_(k=1)^n p_k a_(n+1-k))/S_n - a|`
		`|sum_(k=1)^n p_k/S_n (a_(n+1-k)-a)|`
    `le |sum(k=1)^(n-N)| + |sum_(k=n-N+1)^n|`
    `le epsi + epsi sum_(k=n-N+1)^n |a_(n+1-n)-a|`
	</span>
  上式第二项求和只有有限项, 故原式极限为 `a`.
</p>

<p>	这启示我们得到如下定理:</p>

<p class="theorem">
	<b>Toeplitz 定理</b>
	设对任意正整数 `n` 和任意正整数 `k le n` 有 `t_(n, k) ge 0` 和
	`sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`,
	且对每个固定有 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n, k) = 0`.
	若 `lim_(n to oo) a_n = a`, 则
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) a_k = a`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	记 `b_n = a_n - a`, `n = 1, 2, cdots`, 只需证
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k = 0`.
	</span>
	因为 `b_n to 0`, 存在正整数 `N`, 对任意 `n gt N` 有 `|b_n| lt epsi/2`.
	由于对每个固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`,
	故存在正整数 `M`, 对任意 `n gt M` 有
	<span class="formula">
		`|sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| lt epsi/2`.
	</span>
	从而当 `n gt max{N, M}` 时
	<span class="formula">
		`|sum_(k=1)^n t_(n,k) b_k|`
		`= |sum_(k=1)^N t_(n,k) b_k| + |sum_(k=N+1)^n t_(n,k) b_k|`
		`lt epsi/2 + epsi/2`
		`= epsi`.
	</span>
</p>

<p class="example">
	已知 `lim_(n to oo) a_n = a`, `x_n = sum_(k=0)^n (n;k) a_k`, 求极限
	`lim_(n to oo) x_n/2^n`.
</p>

<p class="solution">
	取 `t_(n,k) = 1/2^n (n;k)`, 则 `sum_(k=1)^n t_(n,k) = 1`.
	另一方面, `(n;k)` 是 `n` 的 `k` 次多项式, 因此
	`lim_(n to oo) t_(n,k) = 0`. 由 Toeplitz 定理,
	`lim_(n to oo) x_n/2^n = a`.
</p>

<h2>从 `"e"` 到 `gamma`</h2>

<p class="lemma">
	`n ge 2` 时, `(1+1/n)^n lt sum_(k=0)^n 1/(k!) lt 3`.
</p>

<p class="proof">
	由二项式定理,
	<span class="formula">
		`	(1 + 1/n)^n
		=	1 + n * 1/n + (n(n-1))/(2!) * 1/n^2 + cdots + 1/n^n`
		`lt	sum_(k=0)^n 1/(k!)`
		`le	2 + sum_(k=2)^n 1/(k(k-1))`
		`=	2 + 1 - 1/n lt 3`.
	</span>
</p>

<p class="theorem" id="the-e">
	数列 `x_n = (1+1/n)^n` 有极限, 记为
	<span class="formula">
		`"e" = 2.718281828...`
	</span>
	我们已知 <a href="../number/0.html#the-e-irrational">`"e"` 是无理数</a>.
	这个常数有许多好的性质, 最重要的一点是, 函数 `"e"^x` 的导数是它自身.
	人们把 `"e"` 用于自然对数的底, 即 `ln x := log_"e" x`.
</p>

<p class="proof">
	由引理知数列有上界, 下证数列单调递增.  由均值不等式知
	<span class="formula">
		`  root(n+1)((1 + 1/n)^n)
		lt (n(1 + 1/n) + 1)/(n+1)
		=  1 + 1/(n+1)`.
	</span>
	所以 `(1 + 1/n)^n lt (1 + 1/(n+1))^(n+1)`.
	从而由单调有界原理知极限 `lim_(n to oo) x_n` 存在.
</p>

<p class="corollary">
	由极限的四则运算容易得到:
	<span class="formula">
		` lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1)
		= lim_(n to oo) (1 + 1/(n+1))^n = "e"`,<br/>
		` lim_(n to oo) (1 - 1/n)^n
		= lim_(n to oo) (1 - 1/n)^(n+1)
		= lim_(n to oo) (1 - 1/(n+1))^n = "e"^-1`.
	</span>
</p>

<p class="corollary" id="cor-e-2">
	对任意正整数 `n` 有
	<span class="formula">
		`(1 + 1/n)^n lt "e" lt (1 + 1/n)^(n+1)`,
	</span>
	或等价地,
	<span class="formula">
		`1/(n+1) lt ln(1 + 1/n) lt 1/n`,
	</span>
	即
	<span class="formula">
		`ln{:(n+1)/n:} lt 1/n lt ln{:n/(n-1):}`, `quad n ge 2`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	由<a class="ref" href="#the-e"></a>的证明知道,
	`(1+1/n)^n` 严格单调递增趋于 `"e"`, 因此得到不等式的前一半.
	为证后半部分, 由 `lim_(n to oo) (1 + 1/n)^(n+1) = "e"`,
	因此只需证明 `(1 + 1/n)^(n+1)` 严格单调递减.
	由均值不等式有:
	<span class="formula">
		`  root(n+2)(1/( (1 + 1/n)^(n+1) ))`
		`lt 1/(n+2)((n+1)/(1 + 1/n) + 1)`
		`=  (n+1)/(n+2)`.
	</span>
	所以
		`  (1 + 1/n)^(n+1)`
		`gt ((n+2)/(n+1))^(n+2)`
		`=  (1 + 1/(n+1))^(n+2)`.
</p>

<p class="proof">
	对函数 `ln x` 在区间 `[n, n+1]` 上应用微分中值定理,
	立即得到第二个不等式.
</p>

<p class="theorem" id="euler-constant">
	`H_n = sum_(k=1)^n 1/k` 称为第 `n` 个<b>调和数 (harmonic number)</b>.
	这个名字来自音乐中的泛音, 因为一段弦振动时, 其二分之一, 三分之一,
	四分之一... 也在相应振动.
	由<a class="ref" href="#cor-e-2"></a>的第三式求和得到
	<span class="formula">
		`ln(n+1) lt H_n lt ln n + 1`, `quad n ge 2`.
	</span>
	因为 `lim_(n to oo) ln(n+1) = +oo`,
	所以 <b>调和级数</b> `lim_(n to oo) H_n = +oo`.
	然而极限 `lim_(n to oo) H_n - ln n` 存在,
	称为<b>Euler-Mascheroni 常数</b>
	<span class="formula">
		`gamma = 0.5772156649015329...`
	</span>
	这个数究竟是有理数还是无理数, 目前尚未得到证明.
</p>

<p class="proof">
	对任意正整数 `n`, 记 `x_n = H_n - ln n`.
	一方面 `H_n gt ln(n+1) gt ln n`, 因此 `{x_n}` 有下界.
	另一方面
	<span class="formula">
		`x_(n+1) - x_n = 1/(n+1) - ln(1+1/n) lt 0`,
	</span>
	即 `{x_n}` 单调递减.
</p>

<p class="corollary">
	`H_n ~ ln n` (`n to oo`).
</p>

<p class="example">
  设 `x_n = H_(2n) - H_n`
  `= sum_(k=1)^n 1/(n+k)`
  `= sum_(k=1)^(2n) (-1)^(k-1)/k`,
  则 `lim x_n = ln 2`.
</p>

<p class="proof">
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n)`
		`= lim_(n to oo) [(H_(2n) - ln 2n) - (H_n - ln n) + ln 2]`
		`= gamma - gamma + ln 2 = ln 2`.
	</span>
</p>

<p class="proof">
	利用 <a class="ref" href="#cor-e-2"></a> 得到
	<span class="formula">
		`ln{:(2n+1)/n:} lt sum_(k=1)^n 1/(n+k) lt ln{:(2n)/(n-1):}`,
	</span>
	两边夹即得结论.
</p>

<p class="proof">
	利用定积分定义,
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) sum_(k=1)^n 1/(n+k)`
		`= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n 1/(1+k/n)`
		`= int_0^1 dx/(1+x)`
		`= ln 2`.
	</span>
</p>

<p class="remark" id="rem-cauchy">
	用 Cauchy 不等式可以得到
	<span class="formula">
		`(H_(2n)-H_n)^2 lt n sum_(k=1)^n 1/(n+k)^2`
		`lt n sum_(k=1)^n 1/((n+k)(n+k-1))`
		`= n (1/n - 1/(2n)) = 1/2`
	</span>
	和
	<span class="formula">
		`(H_(2n) - H_n) sum_(k=1)^n (n+k) ge n^2`.
	</span>
    从而 `2/3 le ln 2 = lim_(n to oo) (H_(2n) - H_n) le (sqrt 2)/2`.
    这个不等式写成小数就是 `0.667 le 0.693 le 0.707`,
    也是一个蛮不错的放缩.
</p>

<ol class="example">
	本例给出 `n!` 的比较粗糙的估计. 更仔细的估计参见 Stirling 公式.
	<li>`n ge 2` 时, `(n/"e")^n lt n! lt n^(n+1)/"e"^n`.</li>
	<li>`lim_(n to oo) n/(root n (n!)) = "e"`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
	<li>`n = 1` 时 `(n/"e")^n lt n!` 显然成立.
		下面设不等式对正整数 `n` 成立, 则对于正整数 `n+1`,
		<span class="formula">
			`(n+1)! = n! (n+1) gt (n/"e")^n (n+1)^(n+1)/(n+1)^n`
			`= (n+1)^(n+1)/("e"^n (1+1/n)^n)`
			`gt (n+1)^(n+1)/"e"^(n+1)`.
		</span>
		类似可证, `n ge 2` 时, `n! lt n^(n+1)/"e"^n` 成立.
	</li>
	<li>对 1. 的结论变形得
		<span class="formula">
			`"e"/(root n n) lt n/(root n (n!)) lt "e"`.
		</span>
		再由两边夹法则即得证.
	</li>
</ol>

<p class="proof">
	[来自 论文哥]
	第 2 问的又一证明.  用定积分定义,
	<span class="formula">
		`1 = int_0^1 ln{:1/x:} dx`
		`= lim_(n to oo) 1/n sum_(k=1)^n ln{:1/(k/n):}`
		`= lim_(n to oo) 1/n ln{:n^n/(n!):}`
		`= lim_(n to oo) ln {: n/(root n (n!)):}`.
	</span>
	两边取指数即可.
</p>

<p class="proof">
  第 2 问的又一证明. 取对数后, 利用 Stolz 定理,
  <span class="formula">
    `lim_(n to oo) (ln n - 1/n ln(n!))`
    `= lim_(n to oo) (n ln n - (n-1) ln (n-1) - ln n)`
    `= lim_(n to oo) (n-1) ln{:n/(n-1):}`
    `= lim_(n to oo) (ln(1+1/(n-1)))/(1/(n-1)) = 1`.
  </span>
  故原极限为 `"e"`.
</p>

<p class="example">
    `lim_(n to oo) n sin(2pi n! "e") = 2pi`.
</p>

<p class="proof">
    记 `n! sum_(k=0)^n 1/(k!) = a`, 则
    <span class="formula">
        `2pi n! "e"`
        `= 2pi n! (sum_(k=0)^n 1/(k!) + 1/((n+1)!) + o(1/((n+1)!)))`,
        `= 2pi (a + 1/(n+1) + o(1/(n+1)))`.
    </span>
    由于 `a` 是整数, 有
    <span class="formula">
        `n sin(2pi n! "e")`
        `= n sin((2pi)/(n+1) + o(1/(n+1)))`
        `= 2 pi`.
    </span>
</p>

<p class="example">
  [<a href="https://kexue.fm/archives/3256">苏剑林. (2015, Mar 28). 有趣的求极限题：随心所欲的放缩</a>]
  <span class="formula">
    `lim_(n to oo) sum_(k=1)^n (k/n)^n = "e"/("e"-1)`.
  </span>
</p>

<p class="proof">
	只需证明
	<span class="formula">
		`lim_(n to oo) sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n = sum_(n=0)^oo "e"^-n`.
	</span>
	先由均值不等式 (`n gt k`)
	<span class="formula">
		`root(n+1)((1-k/n)^n) le (n-k+1)/(n+1) = 1-k/(n+1)`
	</span>
	知道, 数列 `{(1-k/n)^n}` 单调递增趋于 `"e"^-k`, 于是左边 `le` 右边.
	为证明左边 `ge` 右边, 同样由均值不等式 (`n gt k`)
	<span class="formula">
		`root(n-k+1)(1/((1-k/n)^(n-k))) le 1/(n-k+1) ((n-k)/(1-k/n) + 1)`
		`= (n+1)/(n-k+1)`,
	</span>
	有
	<span class="formula">
		`(1-k/n)^(n-k)`
		`ge ((n-k+1)/(n+1))^(n-k+1)`
		`= (1-k/(n+1))^(n-k+1)`
		`ge "e"^-k`.
	</span>
	对任意 `epsi gt 0` 和任意正整数 `N`,
	因为对固定的 `k` 有 `lim_(n to oo) (1-k/n)^k = 1`,
	所以当 `n` 充分大时, 有
	<span class="formula">
		`(1-k/n)^k ge 1-epsi`, `quad k = 0, 1, cdots, N`.
	</span>
	不妨设 `n gt N`, 从而
	<span class="formula">
		`sum_(k=0)^(n-1) (1-k/n)^n`
		`ge sum_(k=0)^N (1-k/n)^(n-k) (1-k/n)^k`
		`ge (1-epsi) sum_(k=0)^N "e"^-k`.
	</span>
	令 `epsi to 0`, `N to oo` 就得到要证的不等式.
</p>

<ol class="proof">
  上一个证明中用到的两个不等式也可以这样证:
  <li>要证 `(1-k/n)^n le "e"^-k`, 令 `x = k/n`, 只需证
    <span class="formula">
      `1-x le "e"^-x`,
    </span>
    显然成立.
  </li>
  <li>要证 `(1-k/n)^(n-k) ge "e"^-k`, 令 `x = 1-k/n`, 只需证: `AA x in (0, 1]`,
    <span class="formula">
      `x^x ge "e"^(x-1)`, 换言之 `x ln x ge x-1`
    </span>
    `x = 1` 时上式等号成立; 又在 `(0, 1)` 上, 导数 `ln x lt 0`, 故不等式成立.
  </li>
</ol>

<h2>上极限与下极限</h2>

<p class="definition">
	设 `{x_n}` 是有界数列. 定义<b>上极限</b>和<b>下极限</b>
	<span class="formula">
		`underset(n to oo) bar lim x_n
		= underset(n ge 1)"inf" underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad`
		`underset(n to oo) ul lim x_n
		= underset(n ge 1)"sup" underset(k ge n) "inf" x_k`.
	</span>
	其中 `{underset(k ge n) "sup" x_k}` 和 `{underset(k ge n) "inf" x_k}`
	称为 `{x_n}` 的<b>上控数列</b>和<b>下控数列</b>.
</p>

<p class="corollary">
	<span class="formula">
		`underset(n to oo) bar lim x_n
		= lim_(n to oo) underset(k ge n) "sup" x_k`, `quad`
		`underset(n to oo) ul lim x_n
		= lim_(n to oo) underset(k ge n) "inf" x_k`.
	</span>
</p>
<p class="proof">
	由习题 1.2 7(4) 知, 上控数列单调递减, 下控数列单调递增.
	显然它们都有界. 于是由单调有界原理, 它们的极限存在.
</p>

<p class="definition">
	设 `{x_n}` 为有界数列. 称 `a` 为 `{x_n}` 的一个<b>部分极限</b>, 如果
	`{x_n}` 有子列收敛到 `a`.
	记 `{x_n}` 的全体部分极限为 `L`, 则 `L != O/`.
</p>

<p class="theorem">
	设 `{x_n}` 为有界数列, 其全体部分极限为 `L`, 则
	<span class="formula">
		`underset(n to oo) bar lim x_n = max L`, `quad`
		`underset(n to oo) ul lim x_n = min L`.
	</span>
</p>
<div class="proof">
	<p> 先证 `underset(n to oo) bar lim x_n` 是 `L` 的一个上界.
		任取 `a in L`, 由定义知存在子列 `{x_(n_k)}` 以 `a` 为极限.
		在不等式
		<span class="formula">
			`x_(n_k) le underset(i ge n_k) "sup" x_i`, `k = 1, 2, cdots`
		</span>
		两端令 `k to oo`, 得 `a le underset(n to oo) bar lim x_n`.
	</p>
	<p> 现在说明 `underset(n to oo) bar lim x_n in L`.
		记 `u = underset(n to oo) bar lim x_n`,
		`bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i`.
		对任意 `k in NN`, 由 `lim_(n to oo) bar x_n = u` 知,
		存在充分大的 `N_k in NN`, 当 `n gt N_k` 时有
		<span class="formula">
			`|bar x_n - u| lt 1/k`.
		</span>
		再由 `bar x_n = underset(i ge n) "sup" x_i` 知, 存在 `n_k ge n`,
		使 `|x_(n_k) - bar x_n| lt 1/k`. 于是
		<span class="formula">
			`|x_(n_k) - u| le |x_(n_k) - bar x_n| + |bar x_n - u| lt 2/k`.
		</span>
		在取定 `n_k` 后, 只需令下一次的 `N_(k+1) ge n_k`, 就能保证
		`n_(k+1) ge n gt N_(k+1) ge n_k`. 所以 `{x_(n_k)}` 是收敛于 `u`
		的 `{x_n}` 的子列.
	<p>
</div>

<p class="theorem">
	设 `{x_n}` 是有界数列, 则 `{x_n}` 收敛的充要条件是
	`underset(n to oo) bar lim x_n = underset(n to oo) ul lim x_n`.
	这一条件成立时, 上极限, 下极限, 极限三者相等.
</p>
<div class="proof">
	记 `x_n` 的全体部分极限为 `L`.
	<p>必要性. 设 `x_n to a`, 则它的所有子列也收敛到 `a`. 从而 `|L| = 1`,
		显然有 `max L = min L`.
	</p>
	<p>充分性. 反设 `{x_n}` 不收敛, 由 Cauchy 收敛准则知,
		存在 `epsi_0 gt 0`, 对任意 `N_k in NN`, 存在 `m_k, n_k gt N`, 使
		<span class="formula">
			`|x_(m_k) - x_(n_k)| ge epsi_0`.
		</span>
		可以取 `N_1 = 1`, `N_(k+1) = max{m_k, n_k}`,
		这就保证 `{x_(m_k)}`, `{x_(n_k)}` 是两个子列.
		应用列紧性原理, 从 `{x_(m_k)}` 中选出一收敛子列,
		再从 `{x_(n_k)}` 的相应子数列中选出一收敛子列.
		这一子列与 `{x_(m_k)}` 的相应子列保持对应项的距离不小于 `epsi_0`,
		因此它们的极限不相等.
		于是 `L` 至少含两个不同实数, 从而 `max L != min L`.
	</p>
</div>

<h2>杂例</h2>

<ol class="example">
  <li>`lim_(n to oo) sin(pi sqrt(n^2+1)) = 0`;</li>
  <li>`lim_(n to oo) cos(pi sqrt(4n^2 + n)) = (sqrt 2)/2`.</li>
</ol>

<ol class="proof">
  <li>
    <span class="formula">
      `|sin(pi sqrt(n^2+1))|`
      `= |sin(n pi + (sqrt(n^2+1) - n) pi)|`
      `= |cos(n pi) sin[(sqrt(n^2+1)-n)pi]|`
      `= |sin {:pi/(sqrt(n^2+1)+n):}|`
      `to 0`.
    </span>
  </li>
  <li>
    原式等于
    <span class="formula">
      `cos(2pi n sqrt(1+1/(4n)))`
      `= cos(2pi n(1 + 1/(8n) + o(1/n)))`
      `= cos{:pi/4:} cos o(1) - sin{:pi/4:} sin o(1)`
      `to (sqrt 2)/2`.
    </span>
  </li>
</ol>


<script src="../../js/note.js?type=math"></script>
</body>
</html>
